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引用 【转载】小学数学及奥数知识点归纳(下)   

2013-06-18 19:08:43|  分类: 小学低年级 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小学数学及奥数知识点归纳(下)

16.约数与倍数

约数和倍数 若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。

公约数 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。

②几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

③几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。

④几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

例如:12的约数有1、2、3、4、6、12;

18的约数有:1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公约数有:1、2、3、6;

那么12和18最大的公约数是:6,记作(12,18)=6;

求最大公约数基本方法

①分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。

②短除法:先找公有的约数,然后相乘。

③辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。

公倍数 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。

例如:12的倍数有:12、24、36、48……;

18的倍数有:18、36、54、72……;

那么12和18的公倍数有:36、72、108……;

那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;

最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

②两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法 ①短除法求最小公倍数;②分解质因数的方法

17.数的整除

基本概念和符号

整除 如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。

常用符 整除符号“|”,不能整除符号“ ”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”;

整除判断方法

①能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。

②能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

③能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

④能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。

⑤能被7整除: A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

B.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

⑥能被11整除: A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。 B.奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

C.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

⑦能被13整除: A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。 B.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

整除的性质

①如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。

②如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。

③如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。

④如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18.余数及其应用

基本概念 对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0<r< P

余数的性质 ①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

19.余数、同余与周期

同余的定义

①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余于b模m。

同余的性质

①自身性:a≡a(mod m);

②对称性:若a≡b(mod m),则b≡a(mod m);

③传递性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡ c(mod m);

④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);

⑤相乘性:若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),则a×c≡ b×d(mod m);

⑥乘方性:若a≡b(mod m),则an≡bn(mod m);

⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整数c,则a×c≡ b×c(mod m×c);

关于乘方的预备知识

①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b

②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

被3、9、11除后的余数特征

①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod 9)或(mod 3);

②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

费尔马小定理 如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(mod p)。

20.分数与百分数的应用

基本概念与性质

分数 把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。

分数的性质 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。

分数单位 把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。

百分数 表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法

①逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。

②对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

③转化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。

④假设思维方法:为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。

⑤量不变思维方法:在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况:A、分量发生变化,总量不变。B、总量发生变化,但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维方法:用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

⑦同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

⑧浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

21.分数大小的比较

基本方法

①通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。

②通分分母法:使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。

③基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化规律)

⑥转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。

⑦倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。

⑨倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。

⑩基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较。

22.分数拆分

将一个分数单位分解成两个分数单位之和的公式

① 1/n=1/(n+1)+1/n(n+1);

② 1/n=a/n(a+b)+b/n(a+b),其中a,b为n的两个因数。

23.完全平方数

完全平方数特征

①末位数字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。

②除以3余0或余1;反之不成立。

③除以4余0或余1;反之不成立。

④约数个数为奇数;反之成立。

⑤奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

⑥奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

⑦两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式 a^2-b^2=(a+b)(a-b)

完全平方和公式 (a+b)^2=a^2+b^2+2ab

完全平方差公式 (a-b)^2=a^2+b^2-2ab

24.比和比例

两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项。

比值 比的前项除以后项的商,叫做比值。

比的性质 比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外),比值不变。

比例 表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性质 两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc。

正比例 若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时),则A与B成正比。

反比例 若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时),则A与B成反比。

比例尺 图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配 把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配。

25.综合行程

基本概念 行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式 路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间

关键问题 确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题 速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)

追及问题 追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)

流水问题 顺水行程=(船速+水速)×顺水时间 逆水行程=(船速-水速)×逆水时间

顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速

静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2

流水问题关键 确定物体所运动的速度,参照以上公式。

过桥问题 关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。

主要方法 画线段图法

基本题型 已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。

26.工程问题

基本公式

①工作总量=工作效率×工作时间

②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率

基本思路

①假设工作总量为“1”(和总工作量无关);

②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间.

关键问题 确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

经验简评 合久必分,分久必合。

27.逻辑推理

基本方法简介

①条件分析—假设法:假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。

②条件分析—列表法:当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。

③条件分析——图表法:当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。

④逻辑计算:在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。

⑤简单归纳与推理:根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。

28.几何面积

基本思路 在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。

常用方法

1. 连辅助线方法

2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。

3. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上)。

4. 利用特殊规律

①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积)

②梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

29.立体图形

30.时钟问题—快慢表问题

基本思路

①按照行程问题中的思维方法解题;

②不同的表当成速度不同的运动物体;

③路程的单位是分格(表一周为60分格);

④时间是标准表所经过的时间;

⑤合理利用行程问题中的比例关系;

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